Varianta A :
Formulujte a dokažte Steinitzovu větu o výměně.
Nad tělesem Z5\mathbb{Z}_{5}Z5 uvažujme
A=(301212132),B=(030201420)A=\left(\begin{array}{ccc}3 & 0 & 1\\2 & 1 & 2\\1 & 3 & 2\end {array}\right),\quad
B=\left(\begin{array}{ccc}0 & 3 & 0\\2 & 0 & 1\\4 & 2 & 0\end{array}\right)A=321013122,B=024302010
Určete dimenzi a najděte bázi prostoru matic V={X∈Z53×3∣AX=BX}V = \{X \in \mathbb{Z}_{5}^{3\times3} | AX = BX \}V={X∈Z53×3∣AX=BX}
Buď B báze R3\mathbb{R}^{3}R3 skládající se z vektorů v1=(1,−1,1)T,v2=(0,1,−2)T,v3=(1,−1,0)Tv_1 = {(1, -1, 1)}^{T}, v_2 = {(0, 1, -2)}^{T}, v_3 = {(1, -1, 0)}^{T}v1=(1,−1,1)T,v2=(0,1,−2)T,v3=(1,−1,0)T.
Uvažme zobrazení, které každému vektoru x∈R3x \in \mathbb{R}^{3}x∈R3 se souřadnicemi [x]B=(α,β,γ)[x]_B = (\alpha, \beta, \gamma)[x]B=(α,β,γ) přiřadí vektor αv1+βv2{\alpha}v_1 + {\beta}v_2αv1+βv2. Ukažte, že toto zobrazení je lineární a najděte jeho matici vzhledem ke kanonické bázi.
Dokažte, že každý vektor x∈R3x \in \mathbb{R}^{3}x∈R3 se dá jednoznačně rozepsat jako x=y+zx = y + zx=y+z, kde y∈span(x1,v2)y \in span(x_1, v_2)y∈span(x1,v2) a z∈span(v3)z \in span(v_3)z∈span(v3).
4)Rozhodněte a zdůvodněte, která z následujících tvrzení jsou pravdivá :
Je-li A,B,C∈Rn×nA, B, C \in \mathbb{R}^{n{\times}n}A,B,C∈Rn×n a ABC=InABC = I_nABC=In, pak také CAB∈InCAB \in I_nCAB∈In.
Buďte U,VU, VU,V podprostory WWW, u1,…,unu_1,\ldots,u_nu1,…,un báze UUU a v1,…,vmv_1,\ldots,v_mv1,…,vm báze VVV. Potom u1,…,un,v1,…,vmu_1,\ldots,u_n,v_1,\ldots,v_mu1,…,un,v1,…,vm je báze U+VU+VU+V.
Pro každou matici A∈Rn×nA \in \mathbb{R}^{n{\times}n}A∈Rn×n a k∈Nk \in \mathbb{N}k∈N platí rank(Ak)≥rank(Ak+1)rank(A^k) \geq rank(A^{k+1})rank(Ak)≥rank(Ak+1).
Buď f:Rn↦Rmf:\mathbb{R}^{n} \mapsto \mathbb{R}^{m}f:Rn↦Rm lineární zobrazení, jehož matice vůči nějaké bázi má hodnost mmm. Potom fff je prosté.
Za případné překlepy se omlouvám.
